Intervalos y teoría de conjuntos. Cesar Jair Santos García.

 Conocimiento personal

Unión e intersección de conjuntos.

En la clase del sábado 18 de enero repasamos el tema de "intervalos y teoría de conjuntos", el cual consta de la unión y la intersección de dos conjuntos de elementos cualquiera dependiendo del contexto que se le dé. En bases matemáticas estos conjuntos toman como elementos principales los números (en su mayoría números reales).

Nos referimos a unión (U) cuando juntamos todos los elementos de todos conjuntos. Si hay algún elemento repetido en dos o más conjuntos estos elementos, al momento de unirlos, se toman como una sola aparición de este elemento.

Ejemplo:

Conjunto A: {1,2,3,4}

Conjunto B: {3,4,,6,7}

A U B: 1,2,3,4,5,6,7

Una intersección (n) vendría siendo juntar todos y solo los elementos que tienen en común todos los conjuntos que tenemos presentes. En este caso se dejan fuera todos los elementos que no se repitan en los conjuntos.

Ejemplo:

Conjunto A: {1,2, 3,4,5,6}

Conjunto B: {2,3,4}

A n B: 2,3,4

También hay un termino que se denomina como conjunto vacío (∅) que consiste en alguna sentencia o instrucción de unión o intersección que no es posible llevar a cabo.

Ejemplo:

Conjunto A: {1,2,3,4,5}

Conjunto B: {6,7,8}

A n B: ∅

Como se puede observar en el ejemplo se pidió una intersección entre los conjuntos A y B pero esta instrucción no es posible de realizar debido a que no hay ningún elemento en común entre estos dos conjuntos.

Intervalos

Con mis propias palabras, no sabría describir a ciencia cierta que son los intervalos, o mínimo no de una forma "formal". De forma coloquial podría describir los intervalos como espacios o recorridos entre dos puntos, punto "A" y punto "B" comúnmente. En el caso de las matemáticas podría decir que son los números que se encuentran en medio de dos números que serian nuestro punto "A" y punto "B".

Existen dos tipos de intervalos; intervalos abiertos e intervalos cerrados. Los intervalos abiertos no toman en consideración los puntos "A" y "B", al contrario de los intervalos cerrados que si los tienen en cuenta.

Ejemplos:

Intervalos abiertos

Intervalos cerrados

La forma de escribir cada intervalo dentro de las llaves se llama "notación de intervalos", que no es mas que otra forma de leer la instrucción o representación del intervalo. Tiene su propia forma de leerse, pero a decir verdad no la recuerdo al pie de la letra al momento de escribir esta parte del diario. Lo que puedo decir con seguridad es que, en los intervalos abiertos, se nos solicita saber todos los números mayores a "a" y menores a "b", y en los intervalos cerrados nos pide saber todos los números que son mayores o iguales a "a" y menores o iguales a "b".

Ahora, también hay una forma de representar las uniones e intersecciones, que anteriormente repasamos, con esta forma de escribir y graficar los intervalos.

Ejemplos

Unión

En este ejemplo pedimos la unión de ambos conjuntos de números mostrados. Al momento de graficar ambos intervalos podemos observar que ambas graficas tienen números en común debido al rango que cada uno abarca. Entonces podemos concluir que la unión de ambos conjuntos son todos aquellos números que son mayores o iguales a -6 y que son menores o iguales a 7.

Así se vería representado gráficamente:

Intersección

En este caso de intersección, de forma grafica, podemos ver fácilmente los números que ambos conjuntos comparten, y es que ambos conjuntos toman en cuenta los números que van desde el -2 al 0, pero también tenemos que tomar en cuenta que en ambos caso se nos esta diciendo que son abiertos, por lo tanto nos los tomamos en cuenta como tal. Entonces tenemos que la intersección de ambos conjuntos comprende todos los números que  son mayores a -2 y menores a 0.

Su representación grafica seria la siguiente:

También tenemos casos donde los conjuntos tienen tendencias hacia el infinito. Es decir, todos los números que se encuentren en el infinito. Debido a que el infinito no se puede "tocar" como tal, este solo se representa como un intervalo abierto, y en el caso de la traficación, lo vemos representado como una recta con punta de flecha.

Ejemplo:

Conocimiento consultado

Unión e intersección

Según Khan Academy, una reconocida plataforma educativa en linea que ofrece gran variedad de cursos gratuitos de temas muy variados y que tiene el aval de muchos profesionales, "para encontrar la intersección de dos o mas conjuntos, busca los elementos que están contenidos en todos los conjuntos. Para encontrar la unión de dos o mas conjuntos, combina todos los elementos de cada conjunto, asegurándote de eliminar cualquier duplicado". Esta explicación esta hecha de una forma bastante coloquial que cualquier persona puede entender, incluso sin necesidad e entrar en el ámbito matemático. En este caso no se nos proporciona ningún ejemplo escrito ya que viene acompañado de un video dando una explicación acerca del tema con sus respectivos ejemplos.

Intervalos

Parar los intervalos decidí quedarme con la explicación que viene por parte de la Enciclopedia Iberoamericana. La cual nos define intervalo como "un conjunto de números reales que se encuentra comprendido entre dos extremos, a y b. También puede llamarse subconjunto de la recta real". En este caso si se nos incluye ejemplos de algunos intervalos, como puede ser el siguiente:

 implican un intervalo que va desde el 1 hasta el 5, incluyendo a ambos.

También nos da una explicación de lo que es un intervalo abierto y cerrado. En el caso del cerrado nos dice que "es aquel que incluye los extremos del intervalo y todos los valores comprendidos entre estos". Nos proporciona el siguiente ejemplo e interpretación grafica:

Por parte del intervalo abierto lo describe como "aquel que no incluye los extremos entre los cuales esta comprendido, pero si todos los valores ubicados entre estos". También nos da su respectivo ejemplo y representación grafica

El intervalo infinito, que no lo mencione tal cual con ese nombre anteriormente, también lo incluye. Y dice que "es aquel que tiene un valor infinito en uno o ambos extremos. El extremo que posea el infinito será un extremo abierto,. En caso de que ambos extremos sean infinitos, será la recta real"

Ejemplo con su representación grafica:

Imagen

Decidí incluir esta imagen ya que me parece una grandiosa ejemplificación del tema sin necesidad de usar números. Creo que es importante darle alguna perspectiva con otro tipo de cosas. La forma de representar los conjuntos con el diagrama de Venn me hace acordar a el ejemplo que quiso poner el profesor, terminando en una relacion con ciertos memes. En este caso se da el ejemplo de dos conjuntos de pelotas distintas, donde si bien cada conjunto tiene pelotas distintas, comparten en común una pelota de basquetbol. Entonces, en caso de querer hacer la unión de todas las pelotas, las tomaríamos todas, pero si nos interesa hacer una intersección, solamente nos interesa tomar la pelota de basquetbol. 

Videos

Unión e intersección
En este caso me quedare con el propio video que nos proporciona Khan Academy. En el video da una explicación un poco mas extenso de lo que consta una unión y una intersección y da un ejemplo de cada uno. También dio una relaciona interesantes a los símbolos, dando a entender que el símbolo de la intersección se puede comparar con una "y", haciendo alusión a que nos interesan únicamente los elementos que se encuentran en ambos conjuntos, y con el símbolo de la unión con una "ó", haciendo alusión a que nos interesan los elementos que estén en un conjunto u otro. También da una representación visual con el diagrama de Venn, el cual estoy considerando una forma muy útil para las personas que entienden de una manera mas visual. 

https://youtu.be/qp-f7eVEp98

Intervalos

En este caso escogí uno de los tantos videos del canal "Matemáticas profe Alex", ya que estoy familiarizado con sus videos y su manera de explicar. Nos da una introducción con un ejemplo que en algún punto de la primaria nos preguntaron: "cuantos números hay entre el numero "x" y el numero "y"", dejando en claro que todo depende de si se incluyen dichos números o no. Para después dejando en claro que se tomaran en cuenta únicamente los números enteros (para este video de ejemplos). Luego procede el uso de los paréntesis y los corchetes para determinar si los números "x" y "y" estarán incluidos. Y termina explicando que tipos de intervalos existen, en este caso tomando en cuenta los intervalos cerrados, abiertos y semi abiertos.

https://www.youtube.com/watch?v=yhdmoH_lyeU

Dado que en ningún momento hizo mención de la notación, me vi en la obligación de incluir otro video que si lo incluya. Escogí este en particular porque es el mas cercano a la forma en que el profesor lo leía en clase. No tengo mucho que decir al respecto ya que lo único que me interesaba era la forma de leer la notación. Sin embargo, no ignoro las demás formas tanto de escribir la notación (incluyendo la expresión "pertenece a" y los "números reales" ). De igual forma, dejare un video bonus para que quede claro de forma de escribir y leer la notación me refiero.

https://www.youtube.com/watch?v=DMaW9DmNBPc

Bonus:

https://www.youtube.com/watch?v=tuPziBUt3IY

Referencias.

https://blog.nekomath.com/tag/intervalos-abiertos/

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/reales/intervalo-abierto-y-cerrado.html

https://es.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/intersection-and-union-of-sets#:~:text=Para%20encontrar%20la%20intersecci%C3%B3n%20de,asegur%C3%A1ndote%20de%20eliminar%20cualquier%20duplicado.

https://enciclopediaiberoamericana.com/intervalos/