Funciones lineales y cuadraticas

 Conocimiento personal

Función lineal 

Una función lineal se representa como una recta que va en dirección diagonal. Es parte de las funciones polinomiales y consta de dos partes ax+b, donde ax representa su pendiente y b su ordenada.

Ejemplo

Analizando a priori la función y como esta evaluada en la recta, uno se puede dar cuenta de como se puede graficar. Siguiendo el mismo ejemplo, lo que nos esta diciendo es que por cada valor de x, nuestra y va a multiplicar 4 veces este valor. Por ejemplo, lo que nuestra pendiente esta diciendo es que si reemplazamos nuestra x por un 1 nuestra y va a valer 4, si nuestra x es reemplazada por un 2, nuestra y tomara el valor de 8, y así consecutivamente. Entonces, tendríamos una secuencia de puntos que pasan por las coordenadas (1,4), (2,8), (3,6), etc. Por el lado de nuestra ordenada, nos dice los valores que la recta va a subir o bajar en cuestión a nuestra y, es como definir un origen diferente a 0. Como se ve en el ejemplo, nuestra recta toma de origen el 2 ya que es lo que supone nuestra ordenada. Tomando todo esto en cuenta, podemos graficas como se muestra arriba, partiendo nuestro origen en el 2 positivo ya  partir de ahí tomando los valores que nuestra pendiente nos dice. Como se comenzó con origen en el 2, entonces ahora nuestra recta no tendría puntos que pasen por (1,4) y siga subiendo por la misma secuencia, sino que tendría puntos en (1,6) y seguiría subiendo en cuestión a este primer punto.

Pero no siempre se nos da el caso de conocer la ecuación, sino que a veces se nos dan los casos donde solo conocemos la recta y, a partir de los puntos de esta misma, tenemos que conocer a que ecuación lineal corresponde. Para hacer el trabajo mas sencillo tenemos dos formulas fundamentales para calcular ambas partes de la ecuación.

Formula para calcular la pendiente

Formula para calcular la ordenada

Como se puede ver, primero hay que saber la pendiente para proseguir con la ordenada, esto se da ya que la formula de la ordenada es un despeje de la formula de la pendiente.

Función cuadrática

La función cuadrática se reconoce por tener un termino x elevado al cuadrado, seguido de un termino x de primer grado y terminando con una constante; ax² +bx+c. Su grafica tiene la característica forma de un arco, que depende de si la ecuación es menor o mayor a 0 se curvea hacia arriba o hacia abajo. El punto mas alto o bajo, dependiendo de a donde este curveada la recta, se le llama vértice y es la parte que nos interesa saber. 

Ejemplo:

Como se puede observar, otra característica de estas funciones es que toca mas de una vez nuestras rectas x y y.

A priori es difícil saber como se grafica este tipo de ecuaciones. Estuve jugando un rato con las distintas partes de la recta y me pude dar cuenta de alguna cosas. Toma esta forma de parábola por que esta elevada al cuadrado, por lo tanto busca tocar dos veces el mismo valor de y con respecto al valor de nuestra x. Nuestra parte bx desplaza nuestra parábola por el eje x 0.1 por cada valor que multiplique x, también la desplaza por el eje y, pero no encontré un patrón claro de como lo haga. Y por ultimo c, que desplaza el vértice por nuestro eje y dependiendo de su valor.

Como dijimos anteriormente, lo que nos interesa saber cuando tratamos con ecuaciones cuadráticas es su vértice, el cual se calcula mediante las formulas:

y

Como se puede ver, hay otra dependencia donde se tiene que hacer primero una formula y después otra. Con la primera formula obtener el valor de x en nuestro punto del vértice que después, mediante la segunda formula, se evalúa y da por resultado nuestro valor de y en el punto del vértice.

Conocimiento consultado

Función lineal

Según David Olivares García y Virginia Hernández para la pagina GeoGebra "una función lineal es aquella función en la que la relación entre las dos variables viene determinada por un polinomio de primer grado de la forma:

Este tipo de funciones son la representación gráfica de una línea recta, donde "m" es la pendiente de la función y "n" es el punto de corte con el eje de ordenadas (Eje Y). Para representar su gráfica sólo tenemos que trazar la recta que une dos de sus puntos."

Por otro lado, la pagina "Problemas y ecuaciones" nos brinda este ejemplo:

Solamente nos da la representación grafica, pero no un problema donde busquemos pendiente ni ordenada.

Para un ejemplo con el problema resuelto lo tome de la pagina Matemovil

En este caso nos brinda nada mas los puntos de una supuesta grafica. 

Descompone los puntos de manera que obtener por separado las x y y, obteniendo dos de cada una, enumerándolas para que sea mas fácil asignarlas en la formula.

Primero calculo la pendiente, reemplazando x y y con su correspondientes que previamente ya había separado.

Quiero hacer un paréntesis aquí, y es que en este caso se uso una formula que me parece mucho mas sencilla . Únicamente coloca la ecuación como se pondría normalmente pero coloca la pendiente ya obtenida y empieza a despejar y reemplazar como se muestra a continuación

Empieza reemplazando la pendiente obtenida anteriormente, y después toma los valores de uno de los puntos con los que estamos trabajando y los reemplaza en su correspondiente x y y.

Y de esta forma, culmina con la respuesta final.

Función cuadrática

La pagina Economipedia define la función cuadrática como "un tipo de función matemática donde la variable principal se eleva al cuadrado, es decir, se multiplica por sí misma. En términos más simples, en esta función, la variable principal aparece con un exponente 2.". Es una explicación muy sencilla y fácil de entender para cualquier persona.

Por otro lado, la pagina WikiHow define al vértice (el elemento que nos importa saber al momento de trabajar con ecuaciones cuadráticas en una grafica) como "el punto más alto o más bajo de la gráfica correspondiente a dicha función. El vértice se encuentra en el plano de simetría de la parábola; cualquier cosa que suceda a la izquierda de este punto será un reflejo exacto de lo que sucede a la derecha."

También nos brinda un ejemplo muy bien detallado de como obtener el vértice:

De primeras nos explican que tenemos que identificar las partes de la ecuación, y dividirlas en a, b y c como en la sección de conocimiento personal había explicado.

Luego nos muestra la primera formula con la que trabajamos, y por consiguiente nos muestra como se reemplazan las incógnitas de a cuerdo a la identificación de la ecuación que vimos arriba. Termina de desarrollar la formula y muestra la solución a nuestra primera parte.

Casi para terminar, empieza a reemplazar nuestra solución de la formula anterior por todas las x de la ecuación cuadrática, multiplicando y desarrollando lo correspondiente y mostrándonos la solución de nuestra y

Una vez obtenidas la solución en x y en y, solo nos queda acomodar los términos para obtener la coordenada del punto de nuestro vértice.

Si colocamos la ecuación del ejemplo en Desmos, o cualquier aplicación/pagina que nos permita obtener la graficación de una ecuación, podemos comprobar que, en efecto, la coordenada del vértice es correcto. Hay que tomar en cuenta que en el caso de Desmos las coordenadas se manejan en puntos decimales y no en fracciones, pero ese hecho no quita que el ejemplo es correcto.

Videos

http://youtube.com/watch?v=TO-cXk8UckA

https://www.youtube.com/watch?v=iZ4guTg3tXg

Fuentes

geogebra.org/m/bjqwbdkj

http://problemasyecuaciones.com/funciones/lineales/funcion-lineal-problemas-resueltos-grafica-pendiente-interseccion-ejes-paralelas.html

https://matemovil.com/funcion-lineal-ejercicios-resueltos/

https://economipedia.com/definiciones/funcion-cuadratica.html

https://es.wikihow.com/encontrar-el-v%C3%A9rtice-de-una-ecuaci%C3%B3n-cuadr%C3%A1tica