Resolución grafica y analitica de inecuaciones de 2do grado

 Conocimiento personal

La clase del día sábado primeo de febrero seguimos con un tema relacionado a  las desigualdades, pero esta vez aplicado a ecuaciones de segundo grado que están con desigualdad a 0. En este caso no se busca despejar la x, si no buscar un intervalo que nos permita cumplir la condición sentenciada en relación al numero 0.


En este ejemplo, puesto en clase, podemos ver que la ecuación nos esta diciendo que la expresión cuadrática esta por debajo del 0. Por lo tanto tenemos que buscar el intervalo que nos permita cumplir con esta sentencia.

Hay dos formas de buscar el resultado. La primera es haciendo uso de la famosa formula general que esta hecha precisamente para trabajar con ecuaciones de segundo grado y, lo mas importante, te da los dos resultados que necesitamos para seguir trabajando en busca del intervalo. Y la segunda forma (con la que nos interesa trabajar) es factorizando la ecuación buscando términos en común de todos los elementos de esta misma (se puede apreciar en la imagen de arriba). El problema con este método es que requiere de una agilidad mental mas intuitiva, ya que necesitas buscar dos números que multiplicados te den como resultado el numero que no acompaña a ninguna variable y, a su vez, que sumados te den como resultado el numero que esta multiplicando a la x que no esta elevada. Entonces, depende de que tan ágil seas con los números, te puede llevar mas o menos tiempo. Ya depende de cada persona escoger el método que mas cómodo se le haga.

Suponiendo que trabajamos con factorización (que debería de ser lo ideal), una vez obtenidos los dos valores de x que necesitamos, toca buscar el intervalo que requerimos.


Como se muestra en la imagen, creamos tres rectas a partir de los valores despejados (se pueden ver en la imagen numero 1), cada recta va a ir acompañado por diferentes partes de la ecuación factorizada, siendo la tercera la única que va a ser acompañada por ambas partes. Nuestros intervalos de la recta van a ser los valores de x despejados. Por intuición, podemos ver que la recta se parte en tres partes; la parte del intervalo que comprende el valor del punto mas pequeño y que tiende a menos infinito, la parte que se encuentra en medio de ambos puntos del intervalo, y la parte del intervalo que comprende el valor del punto mas grande y que tiende a mas infinito. Yo entiendo que el objetivo es identificar o asignar a cada parte de la recta una polaridad negativa o positiva, y la manera para hacer esto es tomar distintos valores de las partes de la recta, reemplazarlos en x de nuestra factorización que esta acompañando a su respectiva recta, desarrollar la operación y dependiendo de si el numero es negativo o positivo va a ser la polaridad de esta parte de la recta. Y en la ultima recta se van a multiplicar las polaridades de las anteriores dos rectas para determinar la polaridad de las tres partes de la tercera.

Desarrollando con la imagen numero 2, podemos ver que tenemos las secciones que van desde -7 a menos infinito, desde -7 a 9, y desde 9 a mas infinito. Entonces, se tomaron valores por debajo de -7, como se observo que al reemplazar los valores en x daban números negativos, se determinó que esa parte de la recta era de polaridad negativa. Mismo caso con la parte de -7 a 9, se observo que reemplazando los valores que se encuentran en este intervalo daban resultados negativos, por ende esa parte de la recta también es negativa. En el caso de los valores encontrados por arriba de 9, todos los valores dieron un resultado positivo, por ende, esa parte de la recta tiene una polaridad positiva. El mismo procedimiento se aplico para la segunda recta, y ya solo quedo multiplicar las polaridades de ambas rectas para determinar la polaridad de la tercera. La polaridad de la tercera recta es la mas importante, ya que es la que determinar el resultado de nuestro problema. Ya que es una ecuación que dicta que es menor a 0, nos interesa la parte de la recta que quedo negativa, en este caso fue la parte del intervalo que va desde -7 a 9, por lo tanto nuestra respuesta es (-7,9).


Hay casos especiales como el de esta imagen numero 3 donde mas de una parte de la recta puede cumplir la condición que requerimos. En este caso hacemos uso de las uniones vistas en anteriores clases.

Conocimiento consultado
Según una de mis paginas favoritas para temas matemáticos, "las inecuaciones de segundo y cuarto grado son herramientas matemáticas poderosas que nos permiten analizar y comprender una amplia variedad de situaciones en las que las desigualdades desempeñan un papel crucial". Esta definición me gusta porque en parte le da importancia al hecho de que nos muestra a las inecuaciones como una herramienta versátil que podemos usar en distintas situaciones. 

La pagina nos proporciona este ejemplo: 

El método para solucionarlo es muy similar visto al de clase, con ligeros cambios como igualar la ecuación a 0, pero en escancia es el mismo procedimiento:

Ahora, a partir de aquí empieza a surgir el cambio mas notorio:




En lugar de usar tres rectas únicamente usa una recta, ya que aquí los valores se reemplazan directamente en la ecuación original, y dependiendo del resultado es la polaridad de la recta.

Imagen

Escogí esta imagen mas que nada para irme relacionando con su forma en un plano cartesiano que toma cuando hablamos de una ecuación cuadrática

Video
https://www.youtube.com/watch?v=_uW4nVdCWzQ
Matemáticas profe Alex siempre me ha parecido un excelente canal para entender las matemáticas, esto debido a su forma de explicar y que siempre aclara los conceptos básicos que hay que conocer en cada nuevo tema, y en este caso no es la excepción.

En la parte de la factorización explica algo muy curioso que yo nunca me había dado cuenta ni tampoco nunca se me había explicado. Al momento de factorizar muchas veces es un dilema el tema de los signos, pero el Profe Alex da un tip muy útil para hacer mas sencillo este punto de la factorización.

También facilita mucho el determinar que partes de la recta nos dará resultados negativos y cuales positivos.

Referencia
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/inecuaciones/ejercicios-de-inecuaciones-de-segundo-grado.html

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