Matriz inversa

 Conocimiento personal

El pasado sábado entramos en el tema de la matriz inversa. Para calcular la matriz inversa es necesario obtener la matriz identidad que, como hemos visto en anteriores clases, sabemos que esta matriz es aquella que en su diagonal principal tiene únicamente 1´s. Esto se lograra "igualando" (por decirlo de alguna manera) la matriz original junto con su matriz identidad y manipulando las filas de nuestra matriz original de la cual queremos extraer su inversa. Veámoslo con algunos de los ejemplos vistos en la propia clase:



Estos fueron los ejemplos de como vamos a manipular nuestra matriz. Se toma un renglón que vamos a modificar y luego una instrucción para manipular este mismo renglón. Esto aplicado en la búsqueda de la matriz inversa se vería de la siguiente forma:



La matriz original queda a la par de su matriz identidad, a medida de que se van modificando los renglones de la matriz original también lo hacen los de la matriz identidad. El objetivo es que del lado donde teníamos la matriz original quede en su lugar la matriz identidad y del otro lado, donde estaba la matriz identidad, obtengamos una nueva matriz que será nuestra matriz inversa, esto se logra a medida de que vamos manipulando los renglones. Obviamente la manipulación de renglones tiene que acercarnos cada vez a lograr obtener nuestros objetivos. Otro detalle es que, si bien no se especifica de manera escrita que renglón es el que se va a modificar, la instrucción de manipulación se colocara junto al renglón que se quiere modificar.

Conocimiento consultado

Según la pagina "Teachy", "una matriz inversa es una matriz que, cuando se multiplica por la matriz original, resulta en la matriz identidad. La matriz identidad es una matriz cuadrada con 1 en la diagonal principal y 0 en todas las demás posiciones. La existencia de una matriz inversa está garantizada solo para matrices cuadradas (mismo número de filas y columnas) cuyo determinante es diferente de cero. Si una matriz A tiene una inversa, esta generalmente se denota por A⁻¹. La multiplicación de una matriz por su inversa sigue la propiedad: A * A⁻¹ = I, donde I es la matriz identidad." Una definición que me parece acertada para comprender mas de lo que se necesita saber sin saturar de información al alumno.

Para los ejemplos, vamos a usar ejemplos dados en la pagina "Superprof"


En este caso tenemos esta matriz A con su matriz identidad I.
La primera manipulación realizada es en la fila 2, que fue reemplaza por una operación donde multiplicamos 3 veces la propia fila 2 y la sumamos con la fila 3. Esto nos deja en 0 el -1 que teníamos y un 15 en el medio en la matriz A, y nos deja un 1 y un 3, respectivamente, en la matriz I.

Aquí manipulamos la fila 1, restando esta misma con la fila 3, dejándonos así el 0 que necesitábamos en la matriz A y colocando un -1 en la matriz I, dejando así la fila 1 lista.


Esto ya es mas rebuscado y puede parecer confuso, pero entendiéndolo es de gran ayuda para poder aplicarla en nuestros ejercicios. Primero que nada, hay que entender que aquí se hicieron dos movimientos en un solo paso. El primer movimiento realizado fue una modificación a la fila 2, multiplicando esta misma por 1/15, dejándonos así la segunda fila completa con la obtención de ese 1 en la matriz A, y dándonos 1/5 y 1/15 en la matriz I. El segundo movimiento fue muy parecido al primero, multiplicando a la fila 3 por 1/3, dándonos así el 1 que hacia falta en la matriz A y agregando un 1/3 en la matriz I. Con esto ultimo tendríamos nuestra matriz inversa que seria: 
Video
En este caso agregue un video del profe Alex, que siempre da muy buenos ejemplos y explicaciones, además de siempre agregar ejercicios para poder practicar. Lo único que me extraña es que no agregara conceptos básicos a entender como lo hace de costumbre. Pero, destaca mucho el hecho de que agregara unos tips de como podemos acomodar los elementos de las matrices para que, de forma visual, sea mas fácil realizar las manipulaciones. 
https://www.youtube.com/watch?v=lrh5MKNZihQ

Fuentes:

https://www.teachy.app/es/resumenes/educacion-media/media-superior-3-grado/matematicas-a-espanol/matriz-inversa-definicion-propiedades-y-calculo-23870

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebralineal/matrices/ejercicios-resueltos-de-matriz-inversa.html

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