Continuidad de una funcion

 Conocimiento personal

Decimos que una función es continua en un punto x=a cuando se cumplen todas y cada una de las siguientes condiciones

1.- "Que el punto x=a tenga una imagen f(a)". Es decir, que tengamos números próximos a nuestro limite.

2.- "Que exista el limite de la función en el punto x=a". Es decir, que podamos asignar un punto limite donde se este proyectando nuestra imagen. En este caso tendremos nuestro limite "lim f(x) x-->a" y limites laterales "lim f(x) x-->a+ = lim f(x) x-->a-; donde "a+" son todos los números que se acercan a nuestro limite por el lado derecho y "a-" todos los números que se acercan a  nuestro limite por el lado izquierdo.

3.-"Que la imagen y el punto coincida con el limite de la función en el punto f(a) = lim f(x) x-->a". Es decir, al momento de evaluar el limite en la imagen, el punto tiene que coincidir con la imagen.

Por otro lado, decimos que una función no es continua cuando existe un punto que ubicado de tal manera que rompa la grafica.

Vista de manera grafica es fácil identificar cuando una función no es continua. Se reconoce por saltos de un punto a otro donde se desconecta por completo o por incluir un intervalo abierto en medio de la grafica que forma.

De forma "numérica" tenemos que hacer tres evaluaciones en el limite que nos da la propia función; una evaluación para encontrar nuestra imagen, otra para encontrar el limite de nuestro lado derecho y otro para el izquierdo.

Conocimiento consultado

La pagina "Hiru" nos da una definicion que parece bastante intuitiva de entender "puede decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz." También nos brinda los siguientes ejemplos:

Función continua

Función discontinua

Como se puede observar, la función continua sigue el curso se su trazado sin ninguna alteración en la trayectoria. Por otro lado, la función discontinua tiene un salto en el punto x=1 que rompe con el curso del trazado.

Decidí tomar un ejemplo directamente de un video ya que no encontré ninguna pagina que tuviera ejemplos que me convencieran.



En este caso tenemos este ejercicio


Primero se nos pone en tela de juicio si las tres condiciones que tocamos anteriormente se cumples. Que la funcion f(x) exista en el valor que estamos mirando, que, para este ejemplo, es 2. Que el limite lim f(x) exista en el mismo valor, y que estos dos sean iguales.


Empezamos a evaluar la primera condición aplicando la evaluación que ya conocemos. En este caso se cumple y, a su vez, nos encontramos con la imagen.


Luego buscamos si existe este mismo numero cuando nuestro limite tiende hacia derecha o izquierda, que , en este caso, fue izquierda. Como podemos comprobar, efectivamente, si existe.


Evaluamos hacia el otro lado, en este caso derecha, y también nos encontramos con el mismo resultado. Esto quiere decir que nuestra función si es continua.

https://www.hiru.eus/es/matematicas/continuidad-de-funciones

https://www.youtube.com/watch?v=ZEAPl6VN4JU

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