Derivadas.

 Conocimiento personal

Para entender que es la derivada hay que volver unos temas atrás para recordar lo que es la pendiente de una función. Entendemos por pendiente de una recta (m) a la inclinación que toma nuestra función con respecto a un eje horizontal. En la mayoría de las ocasiones lo relacionamos con cuanto crece o decrece nuestra función.

En anteriores temas hemos usado la pendiente para definir la inclinación de una ecuación lineal, pero en el tema de derivadas es diferente ya que ahora trabajamos con una recta tangente que tiene sus distintas propiedades y formas de actuar, ya que ahora contamos con un desplazamiento (h) que hacen que la variación de un punto a otro no se pueda calcular de forma lineal:



Aquí es donde entra la derivada. La derivada es el resultado de un limite que representa la pendiente de una recta tangente a la grafica de a cuerdo a un punto.

Su definición seria la siguiente: 

Lo que nos dice es, de forma muy básica, es que la derivada de a (x en la mayoría de casos) es igual al limite de la función a mas h (el incremento) menos la función original sobe h cuando h tiende a 0

Conocimiento consultado

La pagina Khan Academy nos describe lo siguiente "la derivada nos da la pendiente de la recta tangente a la grafica en función a ese punto", básicamente es el mismo concepto pero mas simplificada y tomando en cuenta que se conoce el concepto de lo que es la pendiente. 

Ejemplo: 

Tenemos esta función tomada de la pagina Neurochispas a la cual se le requiere encontrar su derivada. El ejemplo que nos brinda la pagina primero nos brinda la información de que podemos resolver el problema usando la siguiente formula:


Que es básicamente la misma dada en el conocimiento personal pero transcrita para que en lugar de una a tengamos una x. Una vez dada la formula, se aplica y queda de la siguiente manera:

Se identifico x y se sumo el incremento, luego se resto por la función original para dividir todo eso entre h. De aquí sigue desarrollar la función de tal manera que quede lo mas simplificada posible. Quedaría de la siguiente manera:


Llegados a este punto, solamente queda simplificar de manera que eliminamos la h:


Al no tener h (en este caso) sabemos que el limite de una constante es la misma constante, por tanto llegamos a nuestro resultado final:

 
Ejemplo 2:

Veamos un ejemplo mas complicado donde ahora tenemos 2 x:

En estos casos se le aumenta el incremento a todas las x existentes de la función. Entonces quedaría de la siguiente forma:

De aquí nos queda desarrollar y simplificar la función, multiplicando y eliminando los términos que podamos. Quedaría de esta forma:


Dado que por reglas no podemos tener h abajo ya que nos daría una indeterminada a, tenemos que buscar la forma de simplificarla para que ya no este ahí. Entonces, la manera mas optima es factorizar el numerador, ya que el factor común que hay es la h, nos sirve para poder hacerlo:

Ya que no hay mas por simplificar, sustituimos  h por 0 en la expresión para así obtener el resultado final:







https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:linear-equations-graphs/x2f8bb11595b61c86:slope/a/slope-review

http://uaeh.edu.mx/docencia/P_Presentaciones/prepa_ixtlahuaco/2019/4/Calculo.pdf


https://www.neurochispas.com/wiki/definicion-de-la-derivada-como-un-limite/


https://www.youtube.com/watch?v=U7onW7mMzLM


https://www.youtube.com/watch?v=uLDg8fqsuZg


https://www.youtube.com/watch?v=L0BZlkBbZmI

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