Reglas de derivación exponenciales y logarítmicas
Conocimiento personal
La pagina "Economipedia" define a la regla 2 como "Cuando la base es la constante e, su logaritmo natural es 1. Por lo tanto, la derivada de la función exponencial sería igual a la derivada del exponente por la función original."
La pagina "Superprof" nos define esta regla como "La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente." En este caso, se refiere a logaritmo neperiano como lo que entenderíamos como logaritmo natural.
Tengo este problema. Primero, identifico a cual de todas las reglas se parecen. Al tener una base con un numero constante rápidamente puedo identificar que se trata de la regla 3.
Al igual que la pagina, identifico cada parte de mi función, mi constante a y mi exponente u que es la que vamos a derivar.
Al ver que contiene una raiz, yo se que tengo que transformar esa raíz en un exponente. Por lo tanto, raíz cuadrada pasa a ser 1/2 como exponente. Ya con esto puedo empezar a derivar u.
Se aplica una regla de derivada sencilla. Multiplicar el exponente y restarle uno. Pero dado que no podemos tener un exponente en negativo y que tenemos que devolverlo a su forma de raíz. Entonces, bajamos la x junto con su exponente en negativo y lo multiplicamos por el 1/2 que lo multiplica, y para hacerlo raíz lo pasamos a su equivalente.
Una vez derivada usamos la regla para sustituir, y quedaría una multiplicación de la derivada de u por la función original por el ln de la base (El acomodo puede variar dependiendo de la pagina o autor).
Esta vez tengo una función con un exponencial. Identifico mi u que, en este caso, es 3-x'2 y procedo a derivar.
Por reglas anteriores se que la derivada de cualquier constante es 0, por lo tanto mi derivada queda en -2x.
Ya solo queda sustituir en la regla y quedaría de esta manera. La derivada de u por la función original
En esta ocasión puedo identificar que se trata de un logaritmo natural. Entonces, inicio definiendo cual es mi u y empiezo con su derivación.
Considerando, de nuevo, que la derivada de una constante siempre es 0, nos quedaría que la derivada es 3x al cuadrado
En el caso de la pagina, su desarrollo empieza representada como la regla 4, la cual la omití por estar incluida de manera implícita en la regla 5, pero la única diferencia radica en el acomodo al principio. Visto de esta forma, ya solo quedaría multiplicar y obtengo el resultado.
Las reglas de derivación exponenciales y logarítmicas siguen la misma esencia que todas las reglas anteriores que vi. La manera de derivar todas las reglas son las mismas que hemos estado manejando en las ultimas semanas. Lo único nuevo seria la implementación de las reglas que tenemos que seguir para poder derivar una exponencial y una logarítmica que, al igual que las reglas trigonométricas, cada una tiene propiedades diferentes que estaré incluyendo en la sección de conocimiento consultado..
Explicado por de manera muy resumida; cuando tenemos una función exponencial (e) elevada a la x, su derivada pasa a ser exactamente igual, cuando tenemos una e elevada a la u (que u es cualquier función) la derivada es la misma función e con su exponencial u multiplicando a la derivada de u, cuando tenemos una constante (a) elevada a la u su derivada pasa a ser la misma constante con la misma exponencial multiplicado logaritmo natural (ln) de a que también multiplica a la derivada de u, y, por ultimo, tenemos quela derivada de ln de u es igual a derivada de u entre u.
Conocimiento consultado
No pude encontrar como tal una definición especifica de lo que es una derivada exponencial o una derivada logarítmica. La gran mayoría de paginas dan como definición la regla de como derivar cada una. Entonces, colocare como cada una de las paginas define cada regla que vimos en la clase anterior:
El orden de la regla solo estará considerando las ultimas reglas que revisamos
Regla 1:
La pagina "Funciones.xyz" nos define la regla uno como "La derivada de la función e a la x siempre da como resultado la propia función, es decir, no importa cuantas veces derivemos la función ex que siempre conseguiremos la misma función."
Regla 2:
La pagina "Economipedia" define a la regla 2 como "Cuando la base es la constante e, su logaritmo natural es 1. Por lo tanto, la derivada de la función exponencial sería igual a la derivada del exponente por la función original."
Regla 3:
Regla 5:
A decir verdad, no encontré ninguna pagina que me diera una definición que me agradara de la regla 5, así que creo que seria mejor tocarlo a fondo en los ejemplos que opte tomar.
Con respecto a la regla 4, no pretendía tampoco abordarlo ya que es muy similar a la regla 5, solo que la regla 5 es mas "desarrollada", así que creí que valdría mas la pena si colocaba directamente la regla 5.
Ejemplos:
1.-
Tengo este problema. Primero, identifico a cual de todas las reglas se parecen. Al tener una base con un numero constante rápidamente puedo identificar que se trata de la regla 3.
Al igual que la pagina, identifico cada parte de mi función, mi constante a y mi exponente u que es la que vamos a derivar.
Al ver que contiene una raiz, yo se que tengo que transformar esa raíz en un exponente. Por lo tanto, raíz cuadrada pasa a ser 1/2 como exponente. Ya con esto puedo empezar a derivar u.
Una vez derivada usamos la regla para sustituir, y quedaría una multiplicación de la derivada de u por la función original por el ln de la base (El acomodo puede variar dependiendo de la pagina o autor).
2.-
Esta vez tengo una función con un exponencial. Identifico mi u que, en este caso, es 3-x'2 y procedo a derivar.
Ya solo queda sustituir en la regla y quedaría de esta manera. La derivada de u por la función original
3.-
En esta ocasión puedo identificar que se trata de un logaritmo natural. Entonces, inicio definiendo cual es mi u y empiezo con su derivación.
Considerando, de nuevo, que la derivada de una constante siempre es 0, nos quedaría que la derivada es 3x al cuadrado
En el caso de la pagina, su desarrollo empieza representada como la regla 4, la cual la omití por estar incluida de manera implícita en la regla 5, pero la única diferencia radica en el acomodo al principio. Visto de esta forma, ya solo quedaría multiplicar y obtengo el resultado.
https://economipedia.com/definiciones/derivada-de-una-funcion-exponencial.html
https://www.funciones.xyz/derivada-de-la-funcion-exponencial/
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/derivadas/derivada-de-la-funcion-exponencial.html
https://portalacademico.cch.unam.mx/calculo2/derivadas-de-funciones-exponenciales-y-logaritmicas/derivada-de-la-funcion-logaritmo-natural
https://www.youtube.com/watch?v=EneHn6kFoxc
https://www.youtube.com/watch?v=bEmCMdwXy5o
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