Calculo de maximos y minimos
Conocimiento personal
Tenemos esta función. Primero, iniciamos derivando hasta su primer derivada únicamente haciendo uso de las reglas de derivación que ya hemos revisado anteriormente.
En este caso, Gemini lo que hizo fue dividir todos los términos entre 3 ya que todos tienen como base múltiplos de este mismo. A partir de aquí, podemos notar que la función se puede factorizar:
Aquí prácticamente ya podemos detectar cuales son los puntos críticos, pero vamos a darle lógica del porque; si despejamos primero x-3 tenemos que mover hacia la derecha todo el termino x+1, como esta multiplicando pasa a dividiendo y automáticamente tenemos 0, del lado izquierdo quedaría únicamente x-3, despejamos la x moviendo el -3 hacia la derecha y pasa a ser 3 positivo, 3 positivo mas 0 es igual a 3 positivo y tenemos que ese es el valor de x (nuestro primer punto critico. Lo mismo aplica cuando queremos despejar x+1, y nos da el segundo punto critico:
Teniendo los puntos críticos, podemos crear una recta imaginaria donde tenemos los siguientes intervalos:
Ahora, tenemos que evaluar diferentes números en la derivada que obtuvimos anteriormente. Estos números tienen que ser números que se encuentren entre los tres intervalos que obtuvimos. Esto para saber cuando la ecuación esta subiendo o bajando por la recta. Escogemos los números de nuestra preferencia y empezamos evaluar:
En el caso de este intervalo, el signo del resultado es positivo, entonces la ecuación esta subiendo en la recta.
En este caso, el resultado es negativo, por lo tanto la ecuación esta bajando en la recta.
En este ultimo intervalo, el valor es positivo, entonces aquí vuelve a subir la recta.
Ejemplo 2:
Esta función vamos a resolverla de a cuerdo al criterio de la segunda derivada. Vamos a aprovechar también a ver un caso que también podemos tener de vez en cuando. Primero, seguimos de manera normal, como el criterio de la primera derivada, durante algunos pasos:
Primero, empezamos sacando la primera derivada de la función.
Luego igualamos a 0 para sacar los puntos críticos. Pero, aquí pasa que como tenemos solo una x para despejar, solo obtendremos un punto critico. Esto pasa porque, al ser una función cuadrática, solamente tenemos una parábola. Entonces, lo que tenemos que hacer es descubrir si es una parábola abierta hacia arriba o hacia abajo, lo cual haremos siguiendo de manera normal el desarrollo.
Obtenemos la segunda derivada.
Aquí en teoría deberíamos de sustituir el punto critico en nuestra segunda derivada, pero, como en nuestra segunda derivada obtuvimos directamente una constante, esta constante nos sirve para saber, a partir del criterio de la segunda derivada, si es creciente o decreciente. Como nuestra "evaluacion" es menor a 0 entonces sabemos que, de a cuerdo al segundo criterio, nuestra parábola es decreciente, por lo tanto es un maximo.
Ahora evaluamos nuestro punto critico en la función para encontrar las coordenadas de la parábola
El calculo de máximos y mínimos, en palabras muy banales, lo puedo describir como los valores mas altos y mas bajos, respectivamente, que podemos obtener de una función. Tenemos dos tipos de valores máximos y mínimos en cada uno; los locales y los absolutos. Los locales son puntos altos o bajos (dependiendo obviamente de lo que se este hablando) pero que no son los mas altos o bajos que puede tomar nuestra función. En cambio los absolutos son lo contrario, son aquellos que tocan los puntos mas altos o bajos de la función.
¿De que nos sirve saber el máximo y el mínimo de una función? Nos sirve para resolver diversos problemas en diversas disciplinas, especialmente en problemas de economía y en problemas de ingeniería donde es de suma importancia optimizar los recursos y resultados de a cuerdo a las necesidades.
La manera de calcular máximos y mínimos es a través del uso de dos criterios de la derivada. Estos criterios son comparativos, quiero decir, necesitamos comparar estos criterios con el resultado que obtengamos de las derivadas. El criterio numero 1 tiene los siguientes fundamentos:
1.- Cuando el resultado de la derivada pasa de mas a menos se obtiene un máximo.
2.- Cuando la derivada pasa de menos a mas se obtiene un mínimo.
3.- Cuando la derivada no hay cambio de signo no tenemos punto critico.
El criterio numero 2 tiene los siguientes fundamentos:
1.-Cuando la segunda derivada es mayor de 0 el punto critico será un mínimo.
2.- Cuando la segunda derivada es menor a 0 el punto critico es un máximo.
3.- Cuando la segunda derivada es igual a 0 es un punto de reflexión.
Todo esto lo veremos con ejemplos mas adelante.
Conocimiento consultado
La pagina "Calculus502" define a los máximos y mínimos como "Los valores máximos de una función son los valores más altos de esta, mientras que los valores mínimos, como lo dice su nombre, se refiere a los valores más pequeños que dicha función puede tomar; ya sea en un intervalo determinado o de menos infinito a infinito."
La pagina "Khan Academy" define los criterios de la primera derivada como "el proceso de analizar funciones utilizando sus primeras derivadas en búsqueda de puntos extremos."
Le pedí a la Ia de Google Gemini que me creara algunos ejemplos para poder explicarlos con mi propias palabras, cada ejemplo esta verificado de mi propia mano que sea totalmente verídico tanto en procedimiento como en resultado. Así que, dicho esto, a continuación mostraremos algunos ejemplos que podemos encontrar del criterio de la primera derivada:
Ejemplo:
Prácticamente se usaron reglas muy básicas; multiplicar el exponente por la base restando uno al exponente, y la derivada de una constante siempre es 0. Sabiendo la derivada de la función original, proseguimos a igualar todo a 0 para encontrar los puntos críticos.
En este caso, Gemini lo que hizo fue dividir todos los términos entre 3 ya que todos tienen como base múltiplos de este mismo. A partir de aquí, podemos notar que la función se puede factorizar:
Aquí prácticamente ya podemos detectar cuales son los puntos críticos, pero vamos a darle lógica del porque; si despejamos primero x-3 tenemos que mover hacia la derecha todo el termino x+1, como esta multiplicando pasa a dividiendo y automáticamente tenemos 0, del lado izquierdo quedaría únicamente x-3, despejamos la x moviendo el -3 hacia la derecha y pasa a ser 3 positivo, 3 positivo mas 0 es igual a 3 positivo y tenemos que ese es el valor de x (nuestro primer punto critico. Lo mismo aplica cuando queremos despejar x+1, y nos da el segundo punto critico:
Teniendo los puntos críticos, podemos crear una recta imaginaria donde tenemos los siguientes intervalos:
Ahora, tenemos que evaluar diferentes números en la derivada que obtuvimos anteriormente. Estos números tienen que ser números que se encuentren entre los tres intervalos que obtuvimos. Esto para saber cuando la ecuación esta subiendo o bajando por la recta. Escogemos los números de nuestra preferencia y empezamos evaluar:
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| Valor tomado del intervalo |
En el caso de este intervalo, el signo del resultado es positivo, entonces la ecuación esta subiendo en la recta.
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| Valor tomado del intervalo |
En este caso, el resultado es negativo, por lo tanto la ecuación esta bajando en la recta.
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| Valor tomado del intervalo |
En este ultimo intervalo, el valor es positivo, entonces aquí vuelve a subir la recta.
Entonces, con estos datos podemos concluir que nuestra función tiene dos parábolas, en orden de intervalos desde la izquierda hasta la derecha, iniciamos con una parábola hacia arriba y seguimos con una hacia arriba, por lo cual tenemos primero un máximo entre el primer y segundo intervalo y un mínimo entre el segundo y tercero. Ahora, tenemos que saber cual es el máximo absoluto y mínimo absoluto. Para esto tenemos que reemplazar los valores de nuestros puntos críticos en la ecuación original, desarrollarlos y obtendremos nuestro máximo y mínimo absoluto:
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Maximo absoluto    |
Ejemplo 2:
Esta función vamos a resolverla de a cuerdo al criterio de la segunda derivada. Vamos a aprovechar también a ver un caso que también podemos tener de vez en cuando. Primero, seguimos de manera normal, como el criterio de la primera derivada, durante algunos pasos:
Primero, empezamos sacando la primera derivada de la función.
Luego igualamos a 0 para sacar los puntos críticos. Pero, aquí pasa que como tenemos solo una x para despejar, solo obtendremos un punto critico. Esto pasa porque, al ser una función cuadrática, solamente tenemos una parábola. Entonces, lo que tenemos que hacer es descubrir si es una parábola abierta hacia arriba o hacia abajo, lo cual haremos siguiendo de manera normal el desarrollo.
Obtenemos la segunda derivada.
Aquí en teoría deberíamos de sustituir el punto critico en nuestra segunda derivada, pero, como en nuestra segunda derivada obtuvimos directamente una constante, esta constante nos sirve para saber, a partir del criterio de la segunda derivada, si es creciente o decreciente. Como nuestra "evaluacion" es menor a 0 entonces sabemos que, de a cuerdo al segundo criterio, nuestra parábola es decreciente, por lo tanto es un maximo.
Ahora evaluamos nuestro punto critico en la función para encontrar las coordenadas de la parábola
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| Grafico de la función |
Enlaces
https://www.youtube.com/watch?v=2YCea06t_Qc&t=348s
https://www.youtube.com/watch?v=ppI4NKTScxw
https://www.youtube.com/watch?v=8W6M3AZcBBw
https://calculus502.weebly.com/maacuteximos-y-miacutenimos
https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-diff-analytical-applications-new/ab-5-4/a/applying-the-first-derivative-test-to-find-extrema
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