Derivacion implicita

 Conocimiento Personal

La derivada implícita es un tipo de derivada donde, a diferencia de como he estado derivando en ocasiones anteriores, la y se incluye en la derivación.

Hasta la clase pasada siempre hemos derivado ecuaciones donde y es la esta fuera de estas mismas, que es a lo que conocemos como la derivada explicita. La derivada implícita ahora incluye la y en la ecuación como tal y tenemos que derivarla con respecto a la derivada de x. La derivada de y, al no contener x, prácticamente no se puede derivar con respecto a x, queda algo como y*(dy/dx), lo cual hay que despejar dy/dx. 

Primero, se deriva ambas partes de la ecuación, lo que esta antes y después de "=", lo cual se hace con exactamente las mismas reglas que he estado viendo a lo largo del cuatrimestre. Una vez derivado todo lo que es posible derivar, se despeja, como mencionamos anteriormente, dy/dx  usando habilidades algebraicas básicas y obtendríamos nuestro resultado. Dicho a papel puede ser un poco confuso, pero ya con los ejemplos quedara un poco mas claro.

Conocimiento consultado

Un blog en linea de la Universidad de Guanajuato define a la derivada implícita como "técnica que se aplica a funciones definidas implícitamente, esto es a funciones definidas por una ecuación en que la variable “y” no está despejada.". En esta definición se puede notar como ya se usa desde un principio el tema del despeje para definir el concepto de la derivada implícita, y es que es básicamente eso, un despeje que se realiza al finalizar nuestra derivación. Y esto también se ve en la definicion que brinda la pagina de "Superprof"; "Una correspondencia o una función está definida en forma implícita, cuando no aparece despejada la variable , sino que la relación entre  e  viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.". Entonces, podemos dar por sentado que este tipo de derivada se usara de manera muy puntual para resolver derivadas en ecuaciones que no tengan despejada la variable y

Este tipo de problemas quedan mucho mas claro cuando lo vemos en algunos ejercicios. Entonces, voy a repasar algunos problemas ya resueltos para tener referencias.

Ejemplo 1:


Para empezar tenemos un problema muy sencillo. Lo primero que debemos hacer es derivar ambas partes de la ecuación, para esto, tratamos a y como si estuviéramos tratando de derivar una x.


Para irme relacionando con la presentación visual que suelen tener estos problemas, voy a incluir el paso que debería ser "ideal" hacer antes  de derivar, que es, como tal, multiplicar por la representación de la derivada. Una vez separado y visualmente identificado, procedemos a derivar:

Una vez derivado con las reglas de derivación que ya hemos visto con anterioridad, eliminamos dx/dx que estaria acompañando a nuestra 2x (dado de que dx/dx siempre es 1) y dejamos dy/dx (dado que es algo que no se puede eliminar).Lo que nos queda es despejar ese dy/dx que tenemos para encontrar nuestro resultado; 2x esta sumando, entonces, pasa al otro lado restando

2y esta multiplicando a nuestro "objetivo" entonces pasa dividiendo a -2x, hacemos operaciones correspondientes y obtenemos nuestro resultado:


Ejemplo 2:


Para este ejemplo seguimos con algo sencillo para repasar algo que no me gustaría dejar pasar, se vera a medida de que resolvamos el problema. Primero, multiplicar todas las variables por d/dx:


Luego, volvemos a multiplicar pero esta vez con la derivada de cada variable:


Aquí ya se presenta la situación a la que quería llegar, que es cuando tenemos el factor común de dy/dx. Esto se trata como una factorización normal, buscando términos semejantes (que en este caso es dy/dx) y sacándolos en forma de multiplicación



Sacamos factor comun y de una vez vamos despejando el 1 que nos estorbaba, pasa como -1. Ya solo queda despejar el 5y a la 4 mas 1 que multiplica a nuestra dy/dx y obtenemos nuestro resultado:


https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-6-derivacion-implicita-y-derivadas-de-orden-superior/

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/derivadas/derivacion-implicita.html

https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differentiation-2-new/ab-3-2/a/implicit-differentiation-review

https://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/Calculo_1_2015_2/Derivada_2015_2.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=vMVHT6AKJkk

https://www.youtube.com/watch?v=-0BJwbZP9v4


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