Método de Bisección
Conocimiento personal
Tenemos este ejemplo compartido en la pagina de Slide Share. Es un problema que pide una exactitud del 0.001. Entonces comenzamos:
La primera iteración comienza con el intervalo que nos dio el propio problema. Evaluamos con ambos extremos a la función y verificamos que haya un negativo y un positivo en las respuestas. En este caso cuando evaluamos la función en 0 obtenemos un positivo y cuando evaluamos en 1 tenemos un positivo. Por lo tanto, sabemos que la raiz esta entre estos valores.
Lo siguiente fue sacar la media de el intervalo y el resultado evaluarlo en la función. Ya que la evaluación nos dio un resultado positivo entonces reemplazamos el positivo que teníamos por nuestro nuevo punto que también nos dio positivo.
Sacamos la media de nuestro nuevo intervalo y, al evaluar el resultado en la funcion, nos damos cuenta de que ahora obtenemos un negativo. Por ende, ahora hay que reemplazar el punto que anteriormente nos daba como resultado un negativo por nuestro nuevo punto que nos da negativo:
Y realizamos el mismo proceso; sacamos media, evaluamos en la funcion, nos fijamos en el signo y reemplazamos con el signo correspondiente (que, en este caso, volvió a ser negativo):
El proceso se repite cuantas veces sea necesario. En el caso del ejemplo, se ve como se repite a mano en un total de 5 veces, o 5 iteraciones. Ya lo demás lo muestra en una tabla hasta que llego a la exactitud deseada:
Y, con una rápida comprobación en GeoGebra, podemos rectificar que, efectivamente, el resultado con la exactitud pedida se acerca mucho a la raíz verdadera:
El método de Bisección se encarga de buscar las raíces mediante la observación de la función y como notamos que va cambiando el signo en ambos lados de la misma raíz.
Si tenemos un intervalo de x1 y x2 y los empezamos a evaluar en una función vamos a notar que tenemos dos resultados, uno negativo y otro positivo, esto es importante ya que nos indica que, efectivamente, dentro de ese intervalo se encuentra la raíz, además, esto nos indica la exactitud de donde esta la raíz que estamos buscando. Esta exactitud suele ser muy imprecisa al principio (véase el ejemplo en clase donde iniciamos con un intervalo de [14,15] donde, cuando evaluamos en la función, 14 da una precisión de 1.611 y 15 da una precisión de -0.384), por lo que hay que encontrar la media de ambos intervalos y evaluar de nuevo la función con esta media. Hay que seguir este proceso n cantidad de veces hasta que obtengamos un resultado negativo al momento de evaluar la función, llegados a este momento hay que retroceder un intervalo para empezar el procedimiento de nuevo hasta llegar de nuevo a negativos y así sucesivamente hasta llegar a la exactitud deseada (la cual suele estar en 2x10-3).
Esto a mano puede sonar tedioso y complicado, pero una vez aplicado a Excel es mucho mas sencillo ya que las operaciones las hace el mismo programa. Sin embargo, la complicación que podemos encontrarnos al momento de trabajar con Excel puede ser el hecho de llegar a la exactitud deseada, cosa que, a pesar de estar hecho en Excel, toma su tiempo de estar evaluando cada intervalo que se nos presente, y mas si nos vemos en la necesidad de hacer mas intervalos en medio de intervalos que ya teníamos
Conocimiento consultado
La pagina de la UNAM que comparte un archivo hecho por alumnos que nos dicen que es un método que "consiste en cortar el intervalos en dos puntos justo por la mitad (bisectar) considerando a este punto como una aproximación de la raíz de la función. Posteriormente, debe
determinarse si la raíz verdadera se encuentra a la derecha o a la izquierda de la aproximación
y, según corresponda, cerrar el intervalo con la aproximación y el limite derecho o izquierdo, pero
siempre manteniendo a la raíz verdadera en el intervalo."
La pagina de Multimedia UNED menciona que "es uno de los métodos mas versátiles para determinar una raíz real en un intervalo de una ecuación dada, es fácil de comprender, aunque si se desea una mayor exactitud el numero de cálculos que hay que realizar aumenta considerablemente". Esto ultimo que menciona va de la mano con lo que mencione al ultimo en mi apartado de conocimiento personal. Dependiendo de la exactitud que se nos pida será el numero de cálculos que debemos realizar, y puede ser lo tedioso con este método. Por esto mismo la propia pagina nos recomienda complementar este método usando antes un análisis grafico, prácticamente el método grafico que vimos hace unas clases atrás.
Ejemplo:
La primera iteración comienza con el intervalo que nos dio el propio problema. Evaluamos con ambos extremos a la función y verificamos que haya un negativo y un positivo en las respuestas. En este caso cuando evaluamos la función en 0 obtenemos un positivo y cuando evaluamos en 1 tenemos un positivo. Por lo tanto, sabemos que la raiz esta entre estos valores.
Lo siguiente fue sacar la media de el intervalo y el resultado evaluarlo en la función. Ya que la evaluación nos dio un resultado positivo entonces reemplazamos el positivo que teníamos por nuestro nuevo punto que también nos dio positivo.
Sacamos la media de nuestro nuevo intervalo y, al evaluar el resultado en la funcion, nos damos cuenta de que ahora obtenemos un negativo. Por ende, ahora hay que reemplazar el punto que anteriormente nos daba como resultado un negativo por nuestro nuevo punto que nos da negativo:
El proceso se repite cuantas veces sea necesario. En el caso del ejemplo, se ve como se repite a mano en un total de 5 veces, o 5 iteraciones. Ya lo demás lo muestra en una tabla hasta que llego a la exactitud deseada:
Y, con una rápida comprobación en GeoGebra, podemos rectificar que, efectivamente, el resultado con la exactitud pedida se acerca mucho a la raíz verdadera:
https://www.ingenieria.unam.mx/pinilla/PE105117/pdfs/tema2/2-1_metodos_cerrados.pdf
https://multimedia.uned.ac.cr/pem/metodos_numericos_ensenanza/modulo2/descripcionmetodo.html
https://es.slideshare.net/slideshow/ejemplo-del-mtodo-de-biseccin/62117126#2
https://www.youtube.com/watch?v=0WPixuL6AZU
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