Método de Newton-Rapshon

 Conocimiento personal

El metodo de Newton-Rapshon es otro método para encontrar las raíces de una ecuación. Este método define el valor de la raíz como xi (la i escrita en pequeño del lado inferior derecho de la x), y extiende una tangente desde el punto:

La tangente que vamos formando representa una aproximación mas cercana de la raíz y va siendo evaluada mediante la formula: 

Esta evaluación nos da como resultado una raíz mas cercana a la raíz real. Esta evaluación consta de colocar la raíz actual y restarla por la división entre la raíz actual evaluada en la ecuación original y la raíz actual evaluada en la derivada de la ecuación. 

También tenemos que saber que tan acertada es la raíz nueva que obtuvimos, así que calculamos el error con la formula:

Esto nos da como resultado un porcentaje de error que nos dice que tan cerca esta la raíz obtenida con la raíz real de la ecuación. Usualmente nuestro objetivo será tener ese porcentaje lo mas pequeño que sea posible o se nos imponga en el problema.

Conocimiento consultado

Una pagina personal de la UNAM define este método como un método iterativo que es uno de los mas usado y efectivos. Nos aclara que la tangente esta trazada sobre la curva en el punto  y que cruza el eje x en el punto 

que es nuestra siguiente aproximación a la raíz x.

Hay distintas fuentes que dicen cosas similares a la pagina personal de UNAM, pero quiero destacar a la pagina ULPGC que dice, básicamente, que no es el mejor método que se puede usar, pero si una opción muy salida por su simplicidad y su rapidez de convergencia.

Voy a incluir un ejemplo para poder comprender mejor el tema. Pero dado a que el ejemplo no contiene la comprobación del error como lo vimos en clase, esta parte ira por mi cuenta incluido.

Ejemplo:

El planteamiento del problema no lo menciona, pero se esta buscando una precisión de 0.001. Entonces, primero que nada, comenzamos derivando la función:

Como ya sabemos derivar, para este caso, multiplicamos el exponente por el numero que esta acompañando a la x y le restamos uno, a la x sin exponente la eliminamos y dejamos al numero que estaba multiplicando y la constante se hace 0. Ahora reemplazamos en la formula que vimos anteriormente:

Al desarrollar, nos da como resultado 1.714285. Este resultado es nuestra nueva raíz que usaremos en la siguiente iteración. Ahora, comprobemos si cumples con la precisión que se requiere:

En el caso del ejercicio, la comprobación de la precisión la realiza sustituyendo la raíz en la función original. Esto tiene sentido ya que cuando evaluamos que x=0 estamos buscando el valor de x correspondiente a cuando y vale 0, es decir, buscamos la raíz real directamente. Entonces, evaluando el resultado que obtenemos en cada iteración, nos estamos moviendo sobre el eje x jugando con los valores hasta encontrar el que nos de la precisión requerida.

Si bien la forma anterior tiene todo el sentido del mundo y es valida, prefiero familiarizarme con el método visto en clase. Así que, evaluare de dicha forma por mi cuenta:

Resto nuestra nueva raíz por la raíz anterior, el resultado se divide entre la nueva raíz y luego se multiplica por 100. En este caso se obtuvo un error del 41.66%, un error muy alto. Entonces, se tiene que pasar a una nueva iteración:  

Esta nueva raíz salió mas chica que la anterior. Entonces, en el ejercicio origina se probo el valor para ver si esta ya cumple con el objetivo: 

Aun no cumple con el objetivo a través de este método de verificación. Sin embargo, es una mejoría bastante notoria. Vamos a comprobar su porcentaje de error: 

A través de este método también es notable el como el porcentaje disminuyo, haciéndonos saber que estamos cada vez mas cerca del objetivo. Pasemos con la siguiente iteración:

Esta vez no hubo una diferencia muy grande entre ambas raíces, pero, aun así sea por una decimas, la diferencia en cuanto a la precisión puede ser muy grande. Vamos a comprobarlo:

Con este método, ya se obtuvo la precisión objetivo, incluso siendo mas precisa de la requerida. Ahora vemos como quedo con nuestro otro método:

Para este caso se obtuvo 0.35%, que si bien no es lo mas preciso, es un punto de partida aceptable para finalizar el ejercicio. A no ser que den una precisión mas pequeña de la requerida.

https://estadistica-dma.ulpgc.es/FCC/05-3-Raices-de-Ecuaciones-2.html

https://www.paginaspersonales.unam.mx/files/977/2016-02-21-023809_METODO_DE_NEWTON_cla.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=n53t8CtaLrM

https://www.youtube.com/watch?v=DVm6PS-2JKE