Método grafico.

 Conocimiento personal

Antes de entrar directamente al tema del primer método para el calculo de raíces de ecuaciones y polinomios, tengo que entender primero que son las raíces. Dentro de las matemáticas hay diversos conceptos de lo que es una raíz.  Desde una educación mas temprana se nos da entender que una raíz es un numero que se multiplica por si mismo tantas veces como sea necesaria hasta llegar a ese numero, pero cuando hablamos de funciones esto toma un significado diferente. En el contexto de las funciones, consideramos que las raíces de una ecuación son aquellos valores que le podemos a dar al a ecuación y siempre nos dará como resultado 0. Para esta ocasión, también podemos considerar raíces como aquellos valores que se acerquen a cierto grado a ser 0.

Ahora, el método grafico es una forma de obtener las raíces aproximadas de una ecuación (por esto mismo hacemos la aclaración anterior).  Este método consiste en graficar la ecuación dada y a partir de donde cruza con el eje x determinar una aproximación lo mas cercana posible observando en donde cruza. Una vez escogida nuestra aproximación se evalúa a 0 nuestra ecuación y se compara el resultado de las raíces con la que nosotros escogimos a través de pura observación. Comúnmente esto se hace con una ecuación ya graficada o, en su defecto, graficándola nosotros mismos a través de un software que cumpla con la tarea.

Luego, se determina que tanto error obtuvimos en base a las raíces obtenidas cuando igualamos la ecuación a 0. Para esto utilizamos las formulas de error verdadero y error relativo que ya conocemos de antemano.

 Conocimiento consultado

Como en el conocimiento personal, voy a iniciar incluyendo conceptos de lo que es una raíz para comprender mas de su concepto. La Universidad de Chile define a las raíces de una función y=f(x) como "los valores x en los cuales f(x) se hace 0.". Es un concepto fácil y sencillo de entender y fácilmente me podría aprender.

Según la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, el método grafico es "un método simple para obtener, visualmente la raíz de la ecuación f(x)=0, consiste en graficar la función y observar en donde cruza el eje x. Este punto que representa el valor de x para el cual f(x)=0, proporciona una aproximación inicial de la raíz."

Busque ejemplos de como realizar este método a la manera en la que el profesor nos explico en clase, pero no encontré ejemplos con este mismo método tal cual. Cada vez que buscaba el método siempre aparecían con dos funciones graficadas o con métodos de programación.

Dada la situación, voy a tomar una ecuación cualquiera de internet y realizare yo el procedimiento y la explicación.

Ejemplo: 

Tenemos esta función junto con su respectiva grafica. Si nos detenemos poquito a observar la grafico, podemos observar que la función corta dos veces en el eje x. Corta una vez, de forma muy clara, en un valor de x igual a 2 y otra vez en una coordenada que esta mas abierta a suposiciones. Lo único claro es que corta en un valor que se encuentra entre los valores de x 2 y 4.

Una vez observados estos detalles vamos a iniciar con el uso del método. Tenemos que tantear con un numero que este lo mas cercano posible al valor verdadero de x. En mi caso, estimo que podría ser un 2.97. Para comprobar que tanto me acerque al valor real, hay que empezar a sacar raíces:

Para esta ocasión, se hace uso de la formula general. La escribimos para recordarla y luego reemplazamos con los valores de la función.

Se termina de desarrollar y nos quedamos con el "parteaguas" que nos dará el resultado de las dos raíces. Procedemos a desarrollar con ambos signos:

Obtenemos ambos valores de x lo que se traduce a nuestras raíces y, a su vez, se traduce a los cortes del eje x en la grafica. Como se puede ver, una de las raíces si era exactamente 2, pero la otra raíz da como resultado 3, el cual no fue el valor que yo determine, pero si fue una aproximación muy cercana.

Ahora, sabiendo que mi aproximación no fue la correcta, hay que calcular cuanto fue el error que obtuve. Como mencione anteriormente, para esto vamos a usar las formular de error verdadero y de error relativo:

Error verdadero:

Error relativo:

Iniciamos calculando el error verdadero:

Una vez obtenido el valor verdadero, procedemos a ver cuando fue nuestro porcentaje de error aplicando el error relativo:

Obtuvimos un error del 1%, lo cual no es un porcentaje muy alto, pero lo ideal es que optemos por valores que nos den por debajo de eso. Vamos a tomar otro valor que se acerque mas a la raíz para también abarcar este caso. Esta vez usaremos un valor de 2.989:

Como se puede observar, cuanto mas cercano sea el valor que nosotros propusimos al valor verdadero menos error tenemos, por lo tanto, esto seria un caso mas ideal que el primero que propusimos.

Me hubiera gustado incluir mas cosas de internet pero, como mencione anteriormente, me aparecían métodos con dos funciones al mismo tiempo y, en si, eran métodos para graficar directamente las funciones y no para analizarlas y obtener una aproximación, y no se si sea un tema para adelante, pero prefiero no incluirlo de momento para evitar un posible adelanto.


El video que incluí en las referencias fue el mas cercano que encontré al tema como tal. Todos los demás que vi que podían parecerse estaban hechos para clases de programación.

Referencias

https://users.dcc.uchile.cl/~lmateu/CC10A/Apuntes/raices/index.html

https://lc.fie.umich.mx/~calderon/programacion/Mnumericos/Mgrafico.html

https://www.youtube.com/watch?v=KFrCiZH6YJw