Matriz inversa

Conocimiento personal

En esta ocasión retomamos unos de los temas vistos en el primer cuatrimestre; la matriz inversa. Antes de entrar con Excel, estamos revisando lo mas básico referente a como resolver un sistema de ecuaciones a partir de distintos métodos que involucran las matrices.

Tenemos cuatro métodos vistos:

1. Método de Gauss: consiste en, a través de interacciones algebraicas básicas entre distintos distintos renglones de la matriz, hacer 0 todos los números que se encuentran abajo de la diagonal principal que se forma en nuestra matriz. Una vez obtenidos todos los 0, se despeja las incógnitas de todas las nuevas ecuaciones que obtuvimos en la matriz. Vamos de arriba hacia abajo. Cuando despejamos la primera ecuación obtenemos el valor de z, en la siguiente ecuación reemplazamos el valor de z obtenido de la ecuación anterior y se despeja para obtener el valor de y, y en la ultima ecuación sucede lo mismo cuando reemplazamos z y el valor que acabamos de obtener de y, con el respectivo despeje obtenemos el valor de x.

2. Método de Cramer: para este método, cuando acomodamos el sistema de ecuaciones en la matriz, no incluimos el resultado de las ecuaciones. En su lugar tomamos los valores de las dos primeras ecuaciones y los repetimos abajo de la tercera ecuación. Un vez hecho esto, se empieza a multiplicar en forma de diagonales abarcando 3 números desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha anotando el resultado de la multiplicación, así 3 veces. Luego los mismo pero esta vez formando diagonales desde arriba a la derecha hasta la izquierda abajo, en este caso, cada resultado de cada multiplicación se multiplicara por un signo negativo. Una vez obtenido todos los resultados, se suman y, esta primera matriz resuelta, será denominada como "delta de A". Para obtener los valores de x, y y z, dependiendo de que incógnita se quiere resolver, los resultados de las ecuaciones originales tomaran el lugar de los valores de la incógnita que se desea obtener y se repetirá el mismo proceso que seguimos para obtener "delta de A". El resultado se denominara como "delta de (incógnita buscada)" y se dividirá entre delta de A para obtener el valor de la incógnita buscada.

3. Método de Gauss Jordan: este método es similar al método de Gauss. La diferencia es que en este método se busca obtener 0 tanto arriba como abajo de la diagonal principal de la matriz y esta misma diagonal se tiene que convertir en 1 todos sus números. Entonces, sigues el mismo procedimiento que en el método de Gauss, solo lo aplicas también arriba de la diagonal. Lo mas optimo seria que cuando obtienes todos los 0, cuando vas a buscar convertir en 1 la diagonal principal, dividas el renglón entre el valor que tiene el numero que esta en la diagonal, así cumples el objetivo y no alteras mas la diagonal. Al obtener todo lo requerido, donde se supone deberían estar los resultados de las ecuaciones, obtendremos directamente los valores de las incógnitas.

4. Matriz inversa: para este método requerimos sacar un par de cosas; delta de A y la matriz inversa por la adjunta. Delta de A ya sabemos como obtenerla. Para la matriz inversa por la adjunta tenemos que escoger una posición ij. El renglón y columna correspondientes a esta posición quedan "bloqueadas" y los números que se encuentran dentro en este "bloqueo" no se pueden tocar. Los números que quedan en la matriz serán multiplicados de manera similar a la del método de Cramer, la única diferencia es que los números que resultantes de ambas multiplicaciones se restaran entre si, el resultado de esto se multiplicara por -1 elevado a  la suma de i y j. Este resultado tomara el lugar de la posición escogida. Este proceso se repetirá hasta pasar por todos los valores dentro de la matriz. Una vez obtenida la nueva matriz, encontraremos su transpuesta, la cual consiste en intercambiar renglones y columnas, es decir, los renglones pasaran a ser columnas y las columnas pasaran a ser renglones. Una vez hecho esto, todos los valores de la matriz ahora se dividirán entre el resultado que nos dio delta de A, obtendremos nuevos valores en cada posición y esta nueva matriz será nuestra matriz inversa.

Conocimiento consultado

Vamos a bordar un concepto consultado y un ejemplo de cada método:

1. Método de Gauss: "El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineal en otro escalonado", comenta la pagina "Yo soy tu profe".

Se nos brinda el siguiente ejemplo:

La resolución que hace es un poco confusa por el orden que toma. Pero vamos a desglosarlo poco a poco:

Primero, a la fila 1 la multiplica por -3 y le suma la fila 2 para obtener un 0.

Luego, a la fila 1, de nuevo, la multiplica por 2 y le suma la fila 3 y obtiene otro 0.

De momento tenemos esta matriz, entonces, nos falta convertir ese 3 marcado en verde en 0.

Esto por la notación en la que nosotros lo hicimos en clase se puede representar todo en un solo movimiento. De manera que "afectando al renglón 3, renglón 3 lo multiplicamos por 5 y lo sumamos a renglón 2 multiplicado por 3". De esta manera, obtenemos que :

Ahora, nos queda encontrar el valor de las incógnitas:

Como tenemos a un 8 multiplicando a z, lo despejamos pasándolo al otro lado dividiendo al 24 y obtenemos que z vale 3.

Una vez teniendo z, procedemos a obtener y. Reemplazamos el valor de z en la ecuación, multiplicamos y el resultante lo pasamos al otro lado realizando la operación contraria. Solo quedaría despejar y y obtenemos que el resultado es -2.

Mas de lo mismo para encontrar x. Reemplazamos los valores de y y z, los pasamos al otro lado haciendo lo contrario y, en este caso como no tenemos ningún valor acompañando a x, obtenemos directamente el ultimo valor requerido y terminamos el problema.

2. Método de Cramer: según superprof "la regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas".

Decidí utilizar un ejemplo directamente sacado de un video del Profe Alex ya que es el unico que encontré resuelto de la manera vista en clase:

Nos comparte este problema. Primero tenemos que adaptarla a como sabemos hacerlo:

Tomamos los dos primeros renglones y los repetimos.

Empezamos a multiplicar en forma de diagonal y vamos anotando los resultados obtenidos.

Luego, hacemos lo mismo en sentido contrario y los resultados serán afectados por el signo negativo. Se realizan la operaciones correspondientes y obtenemos el resultado de la determinante (anteriormente lo llame de manera errónea "delta")

Ahora, como vamos a encontrar la determinante de x, entonces reemplazaremos los números de x con los números resultantes de cada ecuación en el sistema y realizamos el ajuste correspondiente.

En esta parte iré mas rápido ya que se repite lo que se tiene que hacer. Aquí ya se realizo todo el procedimiento correspondiente a la determinante de x.

Encontramos determinante de y. Ahora, cabe destacar que a partir de acá utiliza otro método muy similar para encontrar las determinantes, solamente que aquí no duplica los dos primeros renglones. Aquí nada mas hace dos multiplicaciones en diagonal de solo dos términos y sigue de manera normal.

Para la determinante de z hace el mismo método.

En este caso, se dejo para el final las divisiones correspondientes que nos dan los valores de x, y y z.

3. Metodo de Gauss Jordan: "Universo Formulas" nos dice que "Consiste en construir una matriz aumentada, colocando a la derecha de la matriz original A una matriz identidad In del mismo orden.". Y nos brinda el siguiente ejemplo:

Tenemos este sistema de ecuaciones lineales el cual nos interesa saber los valores de x, y y z. Por lo tanto los acomodamos en forma de matriz.

Una vez hecho esto, comenzamos.

En este caso, intercambio dos filas, la fila 1 y la fila 2, para obtener nuestro primer 1 de la diagonal principal.

Se procede a hacer las operaciones correspondientes. Primero a la fila 2 la afectamos a si misma restándola con la fila 1 multiplicada por 3. Luego, a la fila 3 la afectamos por si misma restándola por la fila 1 multiplicando por 4. Con esto obtenemos nuestros dos primeros 0 debajo de la diagonal principal.

Luego, a la fila 3 la afectamos a si misma restándola con la fila 2 que multiplica a un 9/5. Obtenemos todos los 0 necesarios debajo de la diagonal principal.

Procede afectando a la fila 3 a si misma con una multiplicación por 5/28. Luego fila 2 la divide entre 5 para luego afectarla a si misma con una suma con la fila 3 multiplicada por 7/5. Con esto obtenemos todos los 1 de nuestra diagonal principal. 

Para acabar, a la fila 1 la afecta a si misma restándola con la fila 3 multiplicada por 2 y, por ultimo, de nuevo, a la fila 1 la afecta a si misma sumándola con la fila 2 y obtenemos nuestra matriz identidad y, paralelamente, los valores de x, y y z.

4. Matriz inversa: No encontré un concepto claro para este punto, así que nos saltaremos directamente al ejemplo. El ejemplo, de nuevo, esta sacado de un video de Profe Alex:

Tenemos el problema, una matriz de 3x3.

Iniciamos sacando determinante de la matriz como ya lo hemos visto anteriormente.

La diferencia con este método de resolución es que se salta la multiplicación de -1 elevado a i + j, dado a que, por el orden que siempre se sigue, se puede prever el signo que nos dará. Por eso abajo a la izquierda tenemos una tablita directamente con los signos que estarían multiplicando dependiendo de la posición que obtengamos. En este caso obtuvimos mas 1 de la adjunta 1,1.

En este caso, como va de forma descendente, continuó con la adjunta de la posición 2,1, que dio como resultado un -4 considerando el signo que debería de ir ahí.

Una vez entendida  la idea, sabemos que la adjunta nos queda de esta forma.

Ya que conocemos nuestra adjunta, ahora dividimos entre nuestra determinante de A y obtenemos nuestra matriz inversa.

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebralineal/sistemas/regla-de-cramer.html

https://www.universoformulas.com/matematicas/algebra/metodo-gauss-jordan/

https://www.youtube.com/watch?v=8Vx3KQj7bd0

https://www.youtube.com/watch?v=ZDiZUrfG_MI&t=288s

https://yosoytuprofe.20minutos.es/2016/11/01/metodo-de-gauss/

https://www.youtube.com/watch?v=eyhE_wSPEVk&t=6s