Solucion de ecuaciones lineales a partir de la adjunta

 Conocimiento personal

Hace dos clases ya conocimos lo que era obtener la matriz inversa a partir de la adjunta. En esta ocasión, en la clase pasada, vimos otra utilizad o un complemento sobre el tema, el cual es obtener la solución a un sistema de ecuaciones lineales a partir de la adjunta.

Primero que nada, recordar que un sistema de ecuaciones es un conjunto de diferentes ecuaciones entre donde todas las incógnitas comparten los mismos valores en cada una de las ecuaciones que componen el sistema. Es decir, las tres ecuaciones comparten el mismo valor de x, y, z y cualquier otra incógnita que nos encontremos en el sistema.

Para encontrar la solución al sistema de ecuaciones, hay que realizar todos los pasos vistos hasta la penúltima clase, o sea, hacer el mismo procedimiento hasta llegar a encontrar la matriz inversa. Una vez encontrada, todos los resultados de cada una de las ecuaciones que incluye nuestro sistema de ecuaciones debe ser acomodada en otra matriz de escala 3x1 (es importante que, con los resultados de cada ecuaciones, logremos formar una matriz que contenga el mismo numero de filas que de columnas de nuestra matriz donde se encuentran todas las incógnitas de nuestro sistema, de lo contrario, este método no se puede aplicar para dicho sistema). Una vez alineada nuestra matriz inversa con la matriz de los resultados de nuestro sistema de ecuaciones, iremos multiplicando fila por fila cada incógnita que tengamos con cada numero de los resultados de nuestro sistema, cada resultado se anotara y se sumara o restara (depende) con los resultados de esa misma fila. Cada resultado de cada fila representa una incógnita. Al tener todos los resultados, se comprueba en el sistema de ecuaciones y si los resultados coinciden el problema esta bien hecho.

Conocimiento consultado

La pagina "10 en matemáticas" define un sistema de ecuaciones como "conjunto de dos o más ecuaciones que contiene a dos o más incógnitas, dichas ecuaciones tienen relación entre sí ya que el valor de las incógnitas satisfacen todas las ecuaciones al mismo tiempo"

Dado que no encontré un ejemplo en concreto de la manera en la que resolvimos el problema en clase, le pedí a ChatGPT que creara un ejemplo en base a mis apuntes. Por lo tanto, es la misma forma de resolución con algunos cambios que no pude evitar que la IA creara, pero todo lo comprobé de primera mano. Asi que vamos a revisarlo:


Nos da este sistema de ecuaciones 3x3 donde obtenemos las matrices A y b:


Las condiciones que necesitamos para resolver el problema se cumplen. Por lo tanto, podemos continuar con el problema.


Reescribe la matriz con el metodo de Sarrus para encontrar la determinante:





Primero calcula las diagonales para después restarlas como el método nos dicta. En este caso nuestra determinante es 0.



Aqui empieza a colocar las determinantes de cada posición. Puede parecer distinto pero es el mismo metodo utilizado, solo que usando una distinta notación para que quede mas claro de donde salen los resultados. Hasta sirve de ayuda para visualizar lo que se tiene que multiplicar.


Nuestra matriz adjunta quedaría de esta misma forma. Reemplazando cada adjunta con su posición correspondiente.


Aqui la primera diferencia que difiere con nuestro metodo. Vuelve a sacar una determinante con respecto a nuestra matriz C. Esto argumentando que que "la cuenta rápida por Sarrus antes fue un error en la suma intermedia; el resultado correcto es 14". Dado que no pude lograr que me diera el metodo solicitado, procederemos con este.




Saca la inversa de forma que a al determinante le agrega un 1, que no es mas que una multiplicación que después se reduce con una división y se vuelve a simplificar.



Aqui ya empieza  multiplicar nuestras matrices A^-1 y b. Coloca tanto el desarrollo arriba y abajo. Va multiplicando cada fila de A^-1 por cada la columba de b.


Obtenemos las respuestas y verificamos. Si comprobamos nosotros mismos, nos daremos cuenta que el resultado es correcto.





https://diezenmatematicas.jimdofree.com/algebra/sistema-de-ecuaciones/

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